Эйлер. Математический анализ - Страница 9

Связь между Эйлером и Ферма была очень тесной. Если мы проследим научные изыскания Эйлера в теории чисел, то увидим, что в основном он пытался решить одну за другой оставленные без ответа задачи Ферма. Это было непросто, поскольку французский ученый редко записывал свои вопросы отдельно, а обычно делал комментарии прямо в книгах, которые читал и анализировал. Он любил бросать вызов своим коллегам, задавая им задачи, которые сам уже решил.

Один из самых интересных вопросов из наследия Ферма — числа, которые были названы его именем, числа Ферма. Они обозначаются буквой F и определяются формулой

F = 2 +1.

При n = 0,1,2,3,4 получим

Все они являются простыми числами. Следующее число Ферма выглядит так:

Было бы логично предположить, что оно, как и предыдущие, является простым. По стандартам того времени более рискованно, хотя и не намного, было выдвинуть гипотезу (как сделал Гольдбах) о том, что все эти числа простые, подтверждая тем самым мнение самого Ферма. Гольдбах сообщил Эйлеру об этой задаче в 1729 году, а в 1732-м тот уже нашел ее решение: F — не простое число, а составное:

F5 = 4 294 967 297 = 641 • 6700 417.

Первой реакцией на этот результат было изумление. Ведь чтобы провести факторизацию этого числа, деля его на 2,3,5,7, 11,13 и так далее, продолжая перебирать бесконечную последовательность простых чисел, требовались колоссальные усилия.

ПЬЕР ДЕ ФЕРМА

Ферма был юристом по профессии и занимался математикой исключительно как хобби, за что получил прозвище "король любителей". Он внес решающий вклад в создание аналитической геометрии, а также в развитие теории вероятностей и оптики, изучал отражение и преломление света и отнес эти явления к максимумам и минимумам, заложив таким образом основы дифференциального исчисления. Наибольшую известность Ферма принесли его исследования о теории чисел, в которых ярко проявились его удивительные способности и необычные методы работы. Обычно он не записывал свои рассуждения отдельно, а делал, пока хватало места, пометки на полях книг, которые читал. Всемирной известностью он обязан появлению теоремы, гласящей, что "для n > 2 не существует таких целых положительных чисел х, у, z, не равных нулю, для которых справедливо х+у=z". Она известна как Великая теорема Ферма, и долгое время у нее не было доказательства. Ферма утверждал — хотя, вполне возможно, ошибочно, — что однажды во время чтения он нашел превосходное доказательство, но на полях книги не было достаточно места для его записи. Теорема была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Если же рассмотреть приемы Эйлера подробней, можно понять его метод и, одновременно с этим, гениальность ученого. Постепенно, следуя по скользкому пути деления, Эйлер пришел к выводу — совсем не простому,— что любой делитель F должен иметь вид 64n + 1. Таким образом, ему больше не надо было проверять один за другим все простые делители, а только числа 65 (n = 1), 129 (n = 2), 193 (n = 3) и так далее, вычеркивая те, которые простыми не являлись. При n - 10 подсчеты дают 64 -10 + 1 = 641, что является точным делителем.

На сегодняшний день не найдено ни одного другого простого числа Ферма. Все новые, что нам известны,— это составные числа. Было доказано, что начиная с F до F — а это огромное количество — нет ни одного простого числа. Но это не означает, что они никогда не будут обнаружены. Вопрос об их существовании — всего лишь гипотеза, а в математике гипотезы считаются верными или ложными, только если находится их доказательство или опровержение.

КРЕЩЕНИЕ ЧИСЛА

Параллельно с работой над числами Ферма и все так же в рамках обширной переписки с Гольдбахом Эйлер дал имя математической константе, которая, как мы уже говорили в предыдущей главе, впоследствии стала основой его исследований по теории чисел: это постоянная е. Впервые она появилась под таким обозначением в одном из писем 1731 года. Вне всяких сомнений, это самая известная постоянная после л. Ее приблизительное значение следующее:

е=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Сегодня известно более триллиона знаков е после запятой. Хотя Эйлер дал постоянной имя и использовал ее в самых разных областях, он не был ее первооткрывателем в строгом смысле этого слова: е появилась гораздо раньше, но под другим именем и "в тайне", как мы увидим ниже.

Число е родом из области логарифмов, как подчеркивал Эйлер. Эта связь, которую мы подробнее рассмотрим в приложении 1, ускользала от математиков на протяжении века. В защиту современников Эйлера можно сказать, что постоянная е с течением времени зарекомендовала себя как особенно неуловимая.

Одним из первых к ней приблизился Грегуар де Сен- Венсан (1584-1667), который в 1647 году обнаружил равностороннюю гиперболу, соответствующую уравнению у - 1/x, ее график в декартовой системе координат изображен на этой странице. Сен-Венсан вычислил площадь между 1 и любой другой точкой t на горизонтальной оси говоря современным языком, это площадь криволинейной трапеции между 1 и t.

Таким образом, получается, что

∫(1/x)dx = lnt,

и при t = е мы имеем Int - Ine = 1. Следовательно, e равно значению на горизонтальной оси X, для которого площадь, указанная на графике, равна 1. Это определение впоследствии дал ей сам Эйлер, Сен-Венсан же так и не пришел к нему.

Христиан Гюйгенс (1629-1695) тоже не обратил на число е большого внимания, хотя в одном из рассуждений ему пришлось вычислить 17 знаков его десятичного логарифма. Но поскольку он был сконцентрирован на другом вопросе, то также проигнорировал число е.