Эйлер. Математический анализ - Страница 8

ГАММА-ФУНКЦИЯ

Сразу же по приезду в Санкт-Петербург Эйлер одно за другим начал делать открытия, которые оказали огромное влияние на его научную жизнь. Считается, что первым из его моментов славы стало создание функции Г (заглавная греческая буква "гамма*), базового инструмента математического анализа. Намеки на Г появлялись в переписке между Даниилом Бернулли и Кристианом Гольдбахом уже около 1720 года, но только в 1729 году Эйлер впервые дал ей определение, а в 1814 году Адриен Мари Лежандр (1752-1833) ввел обозначение "гамма", записав его так: Г(x). Гамма-функция часто появляется в распределении вероятностей и активно используется физиками.

Обычно ее можно встретить в описании явлений, требующих применения экспоненциальных интегралов, типичных для атомной физики; она также распространена в астрофизике, динамике жидкостей и сейсмологии. Эта функция применяется во многих областях математики, особенно в комбинаторике и, в частности, в анализе дзета-функций Римана, имеющих огромное значение в изучении простых чисел. Целью Эйлера было найти способ интерполяции, как это называлось в то время, заключавшейся в том чтобы, зная крайние значения переменной, вывести ее промежуточные значения естественным образом, не прибегая к искусственным методам. Рассмотрим пример. Так называемый факториал натурального числа л! в арифметике, впервые встречающийся у Кристиана Крампа (1760-1826), равен

n! = n(n - 1)(n -2) · ... · 3 · 2 · 1,

то есть является произведением всех натуральных чисел, меньших или равных л. Факториал — чрезвычайно быстро растущая функция, как видно из следующей таблицы.

Факториал определен только для натуральных чисел; последовательность факториала прерывна. Интерполировать факториал означает продлевать его, пока не найдется непрерывная функция f(x) которая равна n!, когда значение х равно значению натурального n.

Почти банальным примером является понятие квадрата числа. Пусть дано натуральное число n, его квадрат будет равен n = n · n. Его можно интерполировать на любое вещественное число х, просто записав f(x) = х. Эйлер интерполировал факториал n! и в 1729 году нашел непрерывную функцию f(x), которая вела себя как факториал, когда x = n был натуральным числом. Мы будем называть ее Г(х), что, собственно, и является ее современным обозначением. Эйлер определил значение

Г(x) в каждой точке посредством того, что сегодня мы бы назвали пределом:

Г(x) = lim(n!n)/(x (х+1)(х+2)...(х+n).

Сейчас вместо этого выражения используется интегральный вид:

Г(x) = ∫ еtdt.

Он более прост, с ним легче работать, и к тому же он действителен в области комплексных чисел. При глубоком изучении Г(х) из нее можно получить огромное количество интереснейших для математиков формул, например

Г(1 - z)Г(z) = π/sin(πz),

которая связывает гамма-функцию с числом π и тригонометрическими функциями.

ДРУГИЕ ФОРМЫ ГАММА-ФУНКЦИИ

Определить Г(х) можно разными способами. В XIX веке была особенно популярна формула Карла Вейерштрасса (1815-1897), в которой используется постоянная Эйлера (она обозначается буквой у" тоже "гамма", но строчная):

Г(z) = e/z ∏(1 + z/n)e

Для этой функции верно:

Г(1)=1

Г(1 + х) = хГ(х).

При помощи гамма-функции выводится знаменитая формула Стирлинга (1692-1770), которая считается образцом красоты символов, поскольку в ней гармонически сочетаются постоянные π,е и число n:

n! = √(2πn)(n/e)

И наконец, скажем о связи между гамма и дзета-функцией ξ(z). Последняя имеет огромное значение в теории чисел, в частности в интереснейшей области простых чисел:

ξ(z)Г(z) = ∫t/(e-1)dt.

БЕТА-ФУНКЦИЯ

Изучая гамма-функцию, Эйлер натолкнулся на еще одну, получившую название "бета" и обозначенную буквой В. Она также очень полезна в области анализа, и ее можно определить разными способами. Один из них — с помощью интеграла:

при условии, что действительные части х и у являются положительными. Еще один способ состоит в использовании гамма-функции, которую мы определили выше:

В(х,у) = Г(x)Г(y)/Г(x+y).

ЧИСЛА ФЕРМА

После изучения гамма- и бета-функций Эйлер занялся теорией чисел, вдруг резко изменив направление своей научной работы, что было для него весьма характерным. В частности, его привлек вопрос, который за век до того оставил нерешенным французский ученый Пьер Ферма (1601-1665).

МАТЬ ВСЕХ ФУНКЦИЙ

Дзета-функция — королева всех математических функций, она привлекает наибольшее внимание специалистов, и ей посвящено наибольшее количество сайтов в интернете. Ее название происходит от греческой буквы ξ (дзета), и в первый раз ее использовал Эйлер в решении так называемой Базельской задачи, принесшей ему известность. Эйлер доказал, что бесконечная сумма обратных квадратов равна π/6:

1 + 1/2 + 1/32 + 1/4 + ... + π/6,

а затем обобщил этот результат, рассмотрев подробнее следующую функцию:

ξ(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Она может принимать любое значение х из области R вещественных чисел. Эйлер вычислил множество значений дзета-функции, но прямой метод нахождения этих бесконечных сумм неизвестен и по сей день. Сам Эйлер открыл способ приведения бесконечной суммы £ к конечному результату, получив, благодаря легкости обращения с алгебраическими формулами, выражение

ξ(x) = Σ1/n = ∏∞1/(1 - 1/p),

где р пересекают исключительно область простых чисел. Так обнаружилась неожиданная связь дзета-функций с этими числами. При помощи инструментов анализа дзета-функцию можно перенести в комплексную область, если брать значения s не из области R (то есть вещественных чисел), а из комплексной области С. Впервые дзета-функцию до этой области расширил и изучил великий немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Сегодня эта функция известна как дзета-функция Римана, и с ней связана так называемая гипотеза, или проблема Римана: невероятное предположение, которое до сих пор не было доказано и считается одной из главных нерешенных задач современной математики. Гипотеза Римана входит в число семи проблем тысячелетия, за решение каждой из которых Институт Клэя в качестве приза выплатит один миллион долларов.