Эйлер. Математический анализ - Страница 31

Здесь уже появляется постоянная е, так как

(1 - 10-)10 1/e.

Во многих старинных трактатах говорится о логарифмах Непера, или натуральных. Здесь мы имеем дело с путаницей, потому что натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию е, в то время как все (почти) логарифмы Непера имеют основание 1/е. Это почти одно и то же, они различаются лишь знаком, а не абсолютным значением:

logN = -logN.

Сегодня для каждого положительного вещественного числа N, когда N - a, мы говорим, что L — логарифм N по основанию а, и записываем: L = log N.

Если мы задумаемся, то увидим, что логарифм основания всегда равен 1, и это его основополагающее свойство.

Самые распространенные основания — это а = 10,а = 2 и а- = е. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными, по основанию 2 — двоичными, по основанию е — натуральными. Для натуральных логарифмов используется знак InN вместо log N.

Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:

Ν · Ν = a · a = a

⇒ log(N · N) = L + L = logN + logN.

Таким образом, логарифм произведения равен сумме логарифмов его множителей.

Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.

2. БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА

Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:

sinx = x - x/3! + x/5! - x/7! + ...

Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± π, ±2π, ±3π...

Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - α, где α — решение. Продолжим:

x - x/3! + x/5! - x/7! + ... = K(x)(x - π)(x + π)(x - 2π)(x + 2π)...

К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:

x - x/3! + x/5! - x/7! + ... = K(x)(x - π)(x - 4π)(x - 9π)...

следует отметить, что каждый член вида х - λπ справа равен нулю. А это происходит, только если

1 - х/(λπ) = 0.

Запишем члены правого выражения в следующей форме:

x - x/3! + x/5! - x/7! + ... = K(x)(1 - x/π)(1 - x/4π)(1 - x/9π)...

Теперь разделим на x:

sinx/x = 1 - x/3! + x/5! - x/7! + ... = K(1 - x/π)(1 - x/4π)(1 - x/9π)...

И, поскольку lim(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:

1 - x/3! + x/5! - x/7! + ... = (1 - x/π)(1 - x/4π)(1 - x/9π)...

Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x в правой части:

- x/3! = -x/π - x/4π - x/9π - ...

Разделив обе части на -x/π, получим

π/6 = 1+ 1/2 + 1/2 + 1/4 + ...,

что и требовалось доказать.

3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Эйлер был первым математиком, доказавшим тождественность ζ($) как ряда степеней и ζ($) как бесконечного произведения. Назовем р простое число, занимающее место k в ряде. Получим

Ниже можно увидеть, каким образом получается это равенство:

Для тех, кто знаком со сложным анализом, дзета-функция может быть расширена до мероморфной во всей комплексной области с простым полюсом s = 1, где остаток равен 1. Это дзета-функция, о которой говорил Риман и которая стала предметом его знаменитой гипотезы.

4. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА

Чтобы упростить, насколько это возможно, наше объяснение, оттолкнемся от предположения, что задействованные в нем функции удовлетворяют всем необходимым условиям на производную и непрерывность.

Обозначим через S функционал (функцию функций), к которому мы применим вариационное исчисление, а через x х — экстремумы неизвестной функции:

S(ƒ) = ∫L(x,ƒ(x),ƒ'(x))dx.

Предположим, что решением является ƒ и что функционал имеет здесь минимум; назовем α(x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х. Поскольку в ƒ функционал имеет минимум,

S(ƒ)≤S(ƒ+εα)

в окрестности ƒ. Вариационный размах

ƒ = ƒ + εα

должен удовлетворять:

dS(ƒ + εα)/dε|ε=0 = ∫dL/dε| = 0

Теперь вспомним, что

dƒ/dε = α,dƒ'/dε = α'.

Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.

Получим

dL/dε = ∂L/∂ƒ dƒ/dε + ∂L/∂ƒ' dƒ'/dε = (∂L/∂ƒ)α + ∂L/∂ƒ'α'

A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу:

Поскольку выражение слева — ноль, то нулем будет и выражение справа. Следовательно,

dL/dƒ = d/dx ∂L/dƒ' = 0

Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так:

i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,

i - 1, i = i, i = 1,i7 = i и так далее.

Напомним также, что ряды степеней е и тригонометрических функций синус и косинус раскладываются в ряд Тейлора или степенной ряд следующим образом:

ex = x/0! + x/1! + x/2! + x/3! + x/4! + ...

cosx = x/0! + x/1! + x/4! + x/6! + ...