Эйлер. Математический анализ - Страница 30

М ≡ 2 - 1,

были названы числами Мерсенна. Сегодня существует генератор псевдослучайных чисел, связанных с простыми числами Мерсенна, который носит имя ученого, — вихрь Мерсенна.

ЧИСЛА МЕРСЕННА

Эйлер хотел найти простые числа больших размеров. Многие математики до него ошибочно предполагали, что все числа М вида М = 2 - 1, где Р — простое число, простые. Пьетро Катальди (1548-1626) в 1588 году доказал, что M и М простые, при помощи немного устаревшего, но стандартного для того времени метода, состоявшего в том, чтобы попытаться разделить их на простые числа, меньшие их квадратного корня. Впоследствии Марен Мерсенн, в честь которого эти числа обозначаются буквой М, составил целый список предполагавмых простых чисел, оказавшийся неточным, так как М и М повторялись два раза, а M, M и M в нем не было. Сегодня самым большим числом является M, в котором 12978189 цифр, в полном виде оно займет 50 таких книг, как эта.

В 1772 году Эйлер доказал, что число M простое. Любопытно, что прошло более 100 лет, прежде чем было найдено следующее простое число — M. Сделал это французский математик Эдуард Люка (1842-1891) в 1876 году. Также простыми являются M и M, но они были открыты позже. Таким образом, на протяжении 104 лет Эйлеру принадлежал рекорд по открытию самого большого простого числа.

КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

Квадратичный закон взаимности, превосходно сформулированный Гауссом в его Disquisitiones arithmeticae ("Арифметические исследования"), появился у Лежандра и Эйлера, который рассказал о нем Гольдбаху в письме 1742 года. Для начала определим, что такое символы Лежандра (p/q).

Предположим, что p и q — разные простые нечетные числа и

(p/q) =

0, если р ≡ 0 (mod q)

1, если х ≡ р (mod q) разрешимое уравнение

-1, если х ≡ p (mod q) неразрешимое уравнение.

Таким образом, Гауссу, а не Эйлеру, удалось доказать, что

(p/q) =

(q/p), если q ≡ 1 (mod 4)

(-q/p), если q ≡ 3 (mod 4)

Это можно выразить, хотя это и непросто, в одной формуле. Гаусс сделал это открытие в 19 лет и так гордился им, что назвал его aurum theorema — "золотой теоремой".

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ И СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Делитель d произвольного числа n называется собственным делителем n, если 1 ≤ d < n. Число n — несобственный делитель n. Первое серьезное исследование Эйлера в области дружественных чисел относится к 1747 году. Два числа считаются дружественными, если сумма собственных делителей одного равна другому и наоборот. Это арифметическое понятие "дружбы" можно проиллюстрировать следующим примером. Возьмем числа 220 и 284. Собственными делителями 220 будут 1, 2, 4, 10,11,20,22,44,55 и 110; а 284 -1,2,4,71 и 142. Получаем, что

220 =1 + 2 + 4 + 10+11+20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284 = 1 +2 + 4 + 71 + 142 = 220.

АДРИЕН МАРИ ЛЕЖАНДР

Научная жизнь Лежандра (1752- 1833) началась под счастливой звездой. Он обладал выдающимися интеллектуальными способностями и достаточным состоянием, чтобы посвятить себя работе, ни на что не отвлекаясь. Успехов в математике Лежандр добился не сразу. Вместе с Лапласом он сделал важные разработки в области астрономии, открыв многочлены, позже названные многочленами Лежандра, зашел на малоизвестную территорию эллиптических функций и теории чисел, в рамках которой ему удалось, как он считал, решить старую задачу о квадратичном законе взаимности. Но в его исследовании были ошибки, как впоследствии установил Карл Фридрих Гаусс. За свои астрономические работы Лежандр был принят в члены Лондонского королевского общества. Он также участвовал в работе комиссии по созданию десятичной метрической системы, входившей в программу всеобщей рационализации, начатой после Французской революции. Хотя Лежандр и разделял многие революционные идеи, в эпоху Террора он был вынужден скрываться и потерял свое состояние. После этого он переписал и издал "Начала" Евклида с точки зрения того времени и современным языком, получив оглушительный и долгий успех у читателей. Придя к власти, Наполеон сразу же взял Лежандра под свою протекцию. Ученый, бывший к тому времени уже известным академиком, занялся изучением движения комет, разработал метод наименьших квадратов для вычисления траекторий, опередив на сей раз Гаусса. К этому же периоду относятся его исследования по распределению простых чисел, которое, как он предположил, подчинялось асимптотическому закону:

Это значение, очень близкое к современному, впоследствии совпало с фундаментальной теоремой о распределении простых чисел. Гаусс здесь оказался первым, но он так и не опубликовал свои результаты.

Приложение

1. ЛОГАРИФМЫ И НЕПЕР

Джон Непер (1550-1617) может по праву считаться изобретателем логарифмов. Он нарисовал две прямые линии следующим образом: на первой отложил отрезок с концами А и В, а параллельно ему провел прямую из точки А'. Затем он предположил, что есть некое тело, которое скользит по бесконечной прямой с постоянной скоростью. В каждой точке X' на прямой он отмечал соответствующую точку на отрезке АВ, но не случайным образом: X двигался со скоростью, равной расстоянию ХВ. Взяв х = ВХ и у = А'Х', Непер создал свой логарифм:

у - logx.

Непер взял AB - 10, что привело его к довольно сложным алгебраическим равенствам. Если N — число, a L — логарифм, то Непер вычислил N = 10 (1-10). Мы получаем