Эйлер. Математический анализ - Страница 20

Выражаясь современным языком, вариационное исчисление состоит в приведении в действие принципа наименьшего действия с аналитической точки зрения. Вначале запишем так называемый лагранжиан системы, обозначив его L, причем L = С - Р, то есть разнице между кинетической энергией С и потенциальной энергией Р. Лагранжиан — это функционал, функция от функций. Если ограничиться самым банальным случаем, в котором есть только путь, то есть функция x(t) времени, то лагранжиан будет иметь вид L(x,x',t), где ньютоновским знаком х' обозначается производная от х. Интеграл действия принимает вид:

S = ∫L(x,x',t)dt

и именно его необходимо минимизировать (а в некоторых случаях максимизировать). И Эйлер, и Лагранж, хотя и разными путями, пришли к дифференциальным уравнениям (обычно их бывает несколько) вида

d/dt ∂L/∂x' = ∂K/∂x.

Сегодня их называют уравнениями Эйлера — Лагранжа, и задача сводится к их решению. Уравнения Эйлера — Лагранжа встречаются в учебниках по анализу и в относительно простых условиях трансформируют интеграл действия в частные производные. Они являются центральным элементом вариационного исчисления. В приложении 4 мы приводим их формальный вывод.

Д’АЛАМБЕР И ЕГО ПРИНЦИП

В 1743 году Д’Аламбер (1717-1783) в своем Тгайё de dynamique ("Трактат о динамике") сформулировал принцип аналитической механики, который носит его имя. Согласно этому принципу, в динамической системе сумма виртуальных работ заданных сил и даламберовых сил равна нулю. Такая формулировка позволяет подойти к принципу наименьшего действия или наименьшего усилия и отсылает к Эйлеру, поскольку ведет к уравнениям Эйлера — Лагранжа:

∂L/∂xa - d/dt ∂L/∂xa = 0.

Это фундаментальная формула классической механики, где L — лагранжиан, а хa — так называемые обобщенные координаты системы.

Мудрец своего времени

Д’Аламбер, один из просвещенных умов эпохи, был незаконнорожденным сыном офицера Детуша, который не признал его. Его имя происходит от названия церкви, на ступенях которой его оставили (Сен Жан-Ле-Рон), и от предполагаемого спутника Венеры (Аламбер). Вместе с Дени Дидро

(1713-1784) он опубликовал перевод с английского "Циклопедии" Эфраима Чемберса, которая легла в основу Enciclopedie: она была дополнена 1700 статьями по математике, философии, литературе, музыке, а также знаменитым вступительным словом Discours priliminaire (1751). Д’Аламбер был принят в Берлинскую академию наук, Лондонское королевское общество, Парижскую академию наук, Французскую академию. Д’Аламбер привел первое доказательство (ошибочное и впоследствии исправленное Гауссом) основной теоремы алгебры: "Всякий вещественный многочлен степени n имеет n комплексных корней". Он также нашел превосходный признак сходимости рядов, в теоретической физике разработал так называемый оператор Д’Аламбера, а в теории вероятностей известен своим мартингалом Д’Аламбера. Параллельно с Эйлером он разработал способы улучшения астрономических линз.

ЭЙЛЕР И ГЕОМЕТРИЯ

Пока Эйлер жил в Берлине, он иногда отправлял статьи в Петербургскую академию, особенно если они касались тем, являющихся продолжением работ, в прошлом опубликованных в России. В 1763 году Эйлер представил Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum ("Легкое решение очень трудной геометрической задачи") — чисто геометрическое и довольно сложное сочинение в духе Евклида. Оно было опубликовано в 1767 году, когда ученый уже вернулся в Санкт- Петербург. В нем он впервые доказал, что в любом неравностороннем треугольнике ортоцентр (О — точка треугольника, в которой пересекаются три его высоты), центр описанной окружности (С — точка треугольника, в которой пересекаются три его срединных перпендикуляра) и барицентр, который также называют центроидом (В — точка, где пересекаются три медианы

треугольника), располагаются на одной прямой, впоследствии названной прямой Эйлера. Если треугольник равнобедренный, то на этой линии находится еще и инцентр (точка пересечения трех биссектрис). О центре окружности Эйлера ( мы поговорим ниже.

Помимо того что обнаружилось расположение на одной прямой точек О, В и С, удалось получить точное соотношение:

2d(B,C) = d(B,0).

Как видите, расстояние между барицентром и ортоцентром всегда в два раза больше расстояния между барицентром и центром описанной окружности (рисунок 11). И хотя, как мы уже сказали, инцентр располагается на той же прямой только в равнобедренном треугольнике, Эйлер нашел формулу, по которой можно рассчитать расстояние между инцентром и центром описанной окружности:

d = R(R-2r),

где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

РИС. 11

РИС. 12

Крыша олимпийского стадиона в Монако занимает наименьшую площадь, рассчитанную с помощью вариационного исчислении.

В 1750 году Эйлер обнародовал мегаскоп — прибор дли проецировании непрозрачных тел. Он состоил из двух вогнутых зеркал и двух ламп.