Эйлер. Математический анализ - Страница 26

"Господин, (a + b)/n = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте же!"

Философ, не слишком разбиравшийся в математике, промолчал. Придворные истолковали это молчание как невозможность отрицать неопровержимое доказательство. Они посмеялись над Дидро за его спиной, и сконфуженный француз вернулся на родину. Так гласит рассказ.

Портрет Дени Дидро, отца и главного редактора "Энциклопедии".

Другая сторона

Но эта история довольно быстро затрещала по швам, через которые стала просвечивать правда. Уравнение из рассказа не имеет никакого математического смысла. К тому же Дидро не был невеждой в этой дисциплине, а, напротив, обладал прекрасной математической подготовкой. Поэтому фраза, приписываемая Эйлеру, показалась бы ему тем, чем она была на самом деле, то есть бессмыслицей, и Дидро не преминул бы сказать об этом. Наконец, трудно представить себе серьезного и почтительного Эйлера, который придумал бы столь глупую шутку с таким образованным человеком, как Дидро. Единственное, что заслуживает доверия в этом рассказе,— сам факт возвращения Дидро во Францию.

Он написал для деда своей жены великолепную надгробную речь — длинный трогательный текст о его жизни и работе. Наконец, Андрей Лексель (1740-1784) работал с Эйлером в последний период его жизни и также находился в доме в момент смерти ученого. В то время Лексель вместе с Эйлером и Фуссом занимался изучением только что открытого Урана и с помощью вычислений предсказал существование Нептуна.

Еще одним несчастьем этого периода стал пожар, который случился в доме Эйлера в 1771 году и в котором ученый чуть не погиб. Его спасло только вмешательство слуги Петера Гримма (некоторые источники говорят просто о соотечественнике из Базеля), вынесшего Эйлера на своих плечах. Часть денег для перестройки дома в камне была выделена императрицей.

КРИВЫЕ И ПЕРЕДАЧИ

В 1754 году Эйлер опубликовал в Берлинской академии несколько записок о зубчатых колесах. В 1765 году, между берлинским периодом и возвращением в Россию, он вернулся к этой теме в Supplementum de figura dentium rotarum. В этом сочинении говорилось о форме зубьев вращающегося зубчатого колеса. На рисунке 1 изображено колесо с треугольными зубьями, но простых треугольников недостаточно. Профиль зубьев имеет важнейшее значение, и на рисунке 2, сделанном по работам Эйлера, мы видим идеальные зубья, образованные эвольвентой окружности. Она получается, если нарисовать траекторию конца веревки, обвязанной вокруг окружности, при ее разматывании. У зубьев общая касательная, и колесо не вибрирует, энергия не тратится на шум,

РИС. 1

РИС . 2

и затраты становятся минимальными. Эйлер был первым ученым, исследовавшим область эвольвентного зацепления, а его идеи привели к созданию уравнений Эйлера — Са- вари, которые используются в этой области и сегодня.

РИС.3

Рисунок зубьев пилы, созданный в соответствии с исследовании- ми Эйлера.

Зубья пилы

Помимо шестеренок, Эйлер также интересовался зубьями пилы (рисунок 3) и в 1756 году написал по этому вопросу статью на 25 страницах. В ней содержатся формулы, в которых учитывается количество зубьев, угол их наклона, степень входа зуба в дерево и так далее. Некоторые его выводы сегодня повергают в изумление: Эйлер рекомендовал использовать пилы длиной 1,2 метра и пилить целыми группами пильщиков.

Третьим и самым важным событием, оказавшим влияние на Эйлера в этот период, стала смерть его жены Катерины в 1773 году, после почти 40 лет брака. Ученый женился повторно — на своей свояченице Абигайл. Несмотря на все жизненные удары, он продолжал публиковать новые работы в прежнем ритме. Хотя в прошлом он уже внес значимый вклад в теорию чисел своими работами о математических константах или о числах Ферма, историки единогласно утверждают, что большая часть открытий была сделана Эйлером именно в последние годы жизни. Нельзя не подчеркнуть также, что только этих его достижений в данной области — не очень популярной в то время — хватило бы, чтобы оставить в веках имя любого математика.

ЭЙЛЕР И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Эйлер уже в 1735 году внес большой вклад в изучение диофан- товых уравнений, являющихся центральной частью теории чисел. Диофантово уравнение — это уравнение с целыми коэффициентами, для которого возможны только целые решения. Такое название происходит от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который первым занялся их изучением.

Эйлер также попал под их очарование; большая часть его работ по теории чисел состоит в решении задач, оставшихся в наследство от Ферма, а того необычайно привлекал Диофант и область его научных занятий. Но время сбора урожая еще не пришло: Эйлеру не хватало многих мощных инструментов, чтобы начать систематическое изучение диофантовых уравнений, таких как алгебраическая геометрия и эллиптические интегралы, которые только начали появляться. И хотя Эйлер измерил границы царства Диофанта, он не смог его завоевать. Самым знаменитым доказательством в этой области, наверное, может считаться частичное доказательство теоремы Ферма, которое получил Эйлер. Согласно ей, невозможно было решить диофантово уравнение хn + уn - zn при n ≥ 3. Эйлер доказал, что это так при n = 3. Считается, что в доказательстве, которое он нашел уже в 1735 году, была ошибка, но впоследствии Эйлер сам ее исправил. Также при изучении другой категории чисел он подтвердил рассуждения для п - 4, уже выведенные Ферма. Универсальное решение для любого значения п появилось только в конце XX века благодаря Эндрю Уайлсу.