Эйлер. Математический анализ - Страница 24

АБРАХАМ ДЕ МУАВР

Абрахам де Муавр родился в 1667 году во французском регионе Шампань, однако карьеру сделал в Великобритании, куда бежал от религиозных преследований протестантов, начавшихся после того, как в 1685 году Людовик XIV отменил Нантский эдикт. В Лондоне он оказался в стесненных обстоятельствах и зарабатывал на жизнь частными уроками и игрой в шахматы. Де Муавр близко подружился с Эдмундом Галлеем (1656-1742) и Ньютоном, с которым он каждый день пил кофе и который, как говорят, каждый раз, когда ему задавали вопрос о вычислениях, отвечал: "Спросите де Муавра, он разбирается в этом лучше". Кроме этого, де Муавр дружил с Лейбницем, Эйлером и семьей Бернулли, однако все эти связи не помогли ему найти постоянную работу. Он был превосходным математиком: именно ему принадлежит введение в теорию вероятностей независимых событий — результат, приближающий к понятию распределения статистических данных в виде колокола Гаусса. Также де Муавр изучал вопрос ренты в работе Annuities in life ("Пожизненная рента"), опубликованной в 1724 году и основанной на одном из сочинений Галлея. В области анализа де Муавру принадлежит заслуга асимптотического представления факториала. Впоследствии эта формула станет известна как формула Стирлинга:

n! = √(2πn)(n/e).

Но главным его достижением стала формула для комплексных чисел, которая в современной записи выглядит так:

(cosx + /sinx) = cosnx + isinnx.

Де Муавр остался холостяком и жил в бедности, но с гордостью изгнанника вспоминал, что в 1754 году Парижская академия наук избрала его своим иностранным членом. Умер ученый в Лондоне, и говорят, что он предсказал день своей смерти. Якобы де Муавр заметил, что каждый день спит на 15 минут больше, и, произведя подсчеты, вычислил день, когда должен был проспать 24 часа: 27 ноября 1754 года. Так и оказалось.

Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):

е = cosx + isinx,

и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:

е = е (cosу + isiny).

Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:

ex = Σx/n! = 1 + x + x/2! + x/3! + x/4! + ...

В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.

Если мы подставим вместо х число π, то, по формуле Эйлера, получим:

e = cosπ + isinπ = -1 + i0 = -1,

а перенеся -1:

e + 1 = 0.

Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.

В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:

aº = x.

а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением π, то есть 2kπ. В частности:

ln(-1) = iπ + 2kπ(k € Z),

что приводит нас к таким выражениям, как

i= e = e~ 0,2078795764.

В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,

который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +

+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...

≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,

показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

В таком виде кажется, что его сумма равна 0:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,

а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.

На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда

1/(1-x) = 1 + x + x + x + x + x + ...

Подставив вместо х число -1, он пришел к

1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + ...

= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.

то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.

К арсеналу уже известных к тому времени рядов