Эйлер. Математический анализ - Страница 17

ФОРМУЛА ДЛЯ МНОГОГРАННИКОВ

Из всех работ Эйлера, написанных в Берлине, одну с трудом можно приписать к какой-либо области математики того времени. В конце предыдущей главы мы очертили принципы новой области математики — теории графов (начало ей положил сам Эйлер в решении задачи о мостах Кенигсберга) — и более обширной области, частью которой она является, — топологии. Сначала в частных письмах разным адресатам, отправленных между 1750 и 1751 годами, а потом и открыто в статье 1758 года Эйлер вернулся к топологии с невероятным результатом: формулой для выпуклых многогранников с С гранями, А ребрами и V вершинами:

C - A + V = 2.

В начале 2000-х годов читатели авторитетного журнала Mathematical Intelligencer голосовали за самую красивую математическую формулу в истории. Эта формула для полиэдров заняла второе место, а первое — формула, также связанная с Эйлером: е + 1 = 0.

Сегодня мы бы сказали, что выражение С - А + V является топологическим инвариантом, то есть характеристикой поверхности, не меняющейся несмотря на трансформации, которым она подвергается, в частности происходящими в результате деформации, не разрушающей ее. Поверхность, для которой формула Эйлера является топологическим инвариантом, — это сфера, а следовательно, и любой гомеоморфный ей трехмерный полиэдр, то есть все тела, полученные в результате деформации сферы.

Формулу С - А + V = 2 обычно называют формулой Эйлера — Декарта, поскольку, хотя официально ее обнародовал Эйлер, Декарт (1596-1650) открыл ее в 1649 году. Точнее, он сделал другое открытие, подразумевавшее результат Эйлера, но не успел опубликовать его при жизни.

РИС. 1

СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКА

Рассмотрим произвольный выпуклый многогранник (хотя на самом деле формула Эйлера работает для любого многогранника, который можно трансформировать в выпуклый, главное, чтобы он состоял из целого блока, а не из двух многогранников, соединенных в одной точке или с общим отрезком, и не имел дыр). Назовем вершины, ребра и грани многогранника с вышеуказанными характеристиками V, А и C. Как мы уже сказали, Эйлер обнаружил, что

C - A + V = 2.

РИС. 2

РИС. 3

РИС. 4

Эта удивительная взаимосвязь прослеживается всегда — подчеркнем это еще раз, — какой бы ни была форма многогранника, каким бы сложным ни было его изображение и какими бы косыми ни были его грани (за исключением звездчатых многогранников, грани которых пересекаются между собой). Наблюдение Эйлера совсем не очевидно, но его можно легко проверить как на примере симметричных и гармоничных Платоновых тел (рисунок 1 на предыдущей странице), так и на примере любого развернутого многогранника (рисунок 2). Эта числовая формула не зависит от геометрических характеристик фигуры и от формы многогранника. Она справедлива для любого выпуклого многогранника без дыр. Сегодня на элементарном уровне рассматриваются уже не простые многогранники, а поверхности, которые обозначаются буквой S, с дырами и без, а число Χ(S) = С - A + V называют характеристикой S. Для поверхностей, гомеоморфных сфере, таких как многогранники, эта характеристика равна 2. Для тора (рисунок 3) или для бутылки Клейна (рисунок 4) и других гомеоморфных им поверхностей эта характеристика будет равна 0. Для трехмерных поверхностей рода g — где g соответствует количеству дыр в S — характеристика будет равна:

Χ(S) = C - A + V = 2 - 2g.

ГОМЕОМОРФИЗМ

Этот термин может показаться странным, но его значение (от греч. "гомой- ос" — "похожий" и "морфе" — "форма") хорошо известно всем математикам. Он описывает способность тела получиться из чего-то другого (и наоборот) в результате непрерывной неразрушающей деформации. Например, куб на рисунке гомеоморфен сфере.

Математики, особенно специалисты по топологии, называют тела, переходящие одно в другое в результате простой деформации, не ломаясь, гомеоморфными. Классическим примером гомеоморфных, или топологически эквивалентных, фигур являются кружка и тор, потому что могут циклично переходить друг в друга.

Кружка и тор гомеоморфны по невероятной геометрической причине: у них всего одно отверстие. Количество отверстий в поверхности считается топологическим инвариантом, поскольку не меняется в результате перехода.

Она называется характеристикой Эйлера — Пуанкаре. Это выражение стало очень популярным в математике и используется в таких абстрактных дисциплинах, как гомологическая алгебра. Уравнение

C - A + V = 2 - 2g

было сформулировано в 1813 году Симоном Антуаном Люи- лье (1750-1840), но этим открытием, как мы видели, он обязан Эйлеру.

ВОЗВРАЩЕНИЕ К ТЕОРИИ ЧИСЕЛ:

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Переписка между Эйлером и Гольдбахом не прервалась после переезда первого в Берлин. В письме 7 июня 1742 года Гольдбах предположил, что каждое четное целое число является суммой двух целых чисел р и q, которые или были равны 1, или были нечетными простыми числами. Обмен мнениями продолжался, пока Эйлер не нашел окончательную формулировку этой идеи, которая, возможно, является самой известной задачей в истории после теоремы Ферма: